Nghệ thuật đặt tên thuật ngữ bằng từ Hán - Việt trong toán học

Lưu ý: Chống chỉ định với những người bị dị ứng với sự kết hợp Anh - Việt. Mình chỉ là thằng già đầu đang cố bắt “trend” trong cái thế giới GenZ - thế hệ mà bọn Tiktok kêu là cợt nhả đấy - lên ngôi mà thôi! Nếu có sai sót (toán và tiếng Trung có giới hạn), xin để lại comment ngay bài này nhé! Mãi iu.

Tác giả: Hoàng Phước Nguyên

---

Chào các homies đam mê "hệ điều (đều) hành não"! Mình là đứa ham hố ôm cả toán, khoa học máy tính lẫn ngôn ngữ học đây (mách nhỏ: chỉ có khoa học máy tính là học chính quy thôi, còn lại tự đọc là chính, nên ai bảo chém gió hay phông bạt thì chịu thôi, biết nói gì giờ). Cái sự tò mò hơi lệch pha này khiến mình hay có góc nhìn là lạ về mấy chủ đề nghe có vẻ khô khan. Và chủ đề hôm nay chính là màn "bóc term" loạt thuật ngữ toán học Hán Việt - vừa nghe oách xà lách lại vừa (khô khan) hack não nhé!

Miếng trầu là đầu câu chuyện, mình có 2 câu hỏi khó được đặt ra trước khi viết bài này và từ đó ra được cả cái blog (mà bạn chuẩn bị soi xét từng lỗi chính tả) như sau:

Câu hỏi 1: Tại sao dân đam mê về toán nên “đu trend” tìm hiểu gốc gác từ Hán Việt?

Nghe thì có vẻ giống mấy ông cụ non ngồi tra từ điển Hán Nôm đúng không? Nhưng khoan, đừng vội lướt! Việc mò ra cái gốc Hán Việt của mấy thuật ngữ toán học nó không chỉ là "flex" kiến thức ngôn ngữ đâu, mà nó là vũ khí bí mật để hiểu sâu cái bản chất của mấy khái niệm đó đấy.

Nghiêm túc nè: Khi bạn biết cái chữ gốc của nó nghĩa là gì, bạn sẽ thoát kiếp học vẹt công thức, kiểu như não chỉ là cái USB copy-paste. Thay vào đó, bạn sẽ kiểu "Àaaaaa, ra là vậy!", chạm tới cái level hiểu biết nó deep hơn hẳn về cái logic bên trong.

Ví dụ cho dễ hình dung:

• Đại số (代數): Nghe chữ "Đại" (代) cứ tưởng là to bự như đại ca, đại gia hả? No no no! Chữ "Đại" ở đây nghĩa gốc là "thay thế". Đấy! Biết cái này tự dưng thấy chân lý liền: Đại số là môn dùng chữ để thay thế cho số mà! Mind = blown chưa? Học Đại số mà cứ nghĩ nó là cái gì đó "to lớn" thì hơi lạc quẻ rồi đó.

• Hàm số (函數): Nghe "Hàm" (函) cứ tưởng hàm răng hay hàm oan gì à? Cũng không phải luôn! "Hàm" này nghĩa là cái "hộp chứa" hoặc sự "chứa đựng". Hiểu thế này thì cái mối quan hệ input-output (biến độc lập - biến phụ thuộc) nó hiện lên rõ mồn một luôn. Thằng x đi vào cái "hộp" f, cái "hộp" xử lý một hồi rồi "nhả" ra thằng y.

  
  

Nói không ngoa chứ toán học như ngôn ngữ của vũ trụ ấy. Mà học ngôn ngữ nào thì cũng cần biết gốc gác từ vựng đúng không? Hiểu từ nguyên (etymology) của thuật ngữ toán tiếng Việt cũng y chang vậy đó, nó làm mình "giàu" hơn về cách hiểu và cả cách diễn đạt nữa.

Câu hỏi 2: Ủa rồi mấy cái tên này từ đâu ra? Ai đặt mà hay thế?

À, mấy cái tên này không phải tự nhiên mà có đâu nha. Nó là thành quả của cả một quá trình nỗ lực của các bậc tiền bối trí thức siêu tâm huyết đó.

Nhân vật "trùm cuối" phải kể đến là Giáo sư Hoàng Xuân Hãn với công trình huyền thoại "Danh từ Khoa học" xuất bản năm 1942. Trời ơi, năm 1942 đó! Bác ấy đã cày cuốc, hệ thống lại và đặt tên cho cả núi thuật ngữ khoa học từ toán, lý, hóa, cơ, thiên văn bằng tiếng Việt, mà cốt lõi là dùng các yếu tố Hán Việt. Mục tiêu là gì? Là để có một hệ thống thuật ngữ "chuẩn xịn mịn", nhất quán cho dân mình học và dạy khoa học bằng tiếng mẹ đẻ chứ sao!

Tất nhiên, quá trình này cũng có "tham khảo" từ các nước hàng xóm như Trung Quốc, Nhật Bản - những nơi cũng dùng chữ Hán làm nền tảng để xây dựng ngôn ngữ khoa học thời hiện đại hóa. Và phải công nhận, việc chọn dùng vốn Hán Việt sẵn có là một nước đi cực kỳ thông minh. Kiểu như tận dụng tài nguyên có sẵn, quen thuộc với dân mình, lại còn dễ đẻ ra từ mới một cách hệ thống để diễn đạt mấy khái niệm khoa học ngày càng phức tạp nữa. Chiến lược này đúng là đỉnh của chóp!

Giờ mình cùng soi kỹ hơn xem mấy vị tiền bối ngày xưa đã dựa trên những "luật chơi" nào để tạo ra cả một hệ thống thuật ngữ Toán Hán Việt vừa chất vừa logic như vậy nhé.

I. Nguyên tắc vàng trong làng đặt tên thuật ngữ Toán bằng Hán - Việt

Nói một cách "chanh sả" thì việc dùng chữ Hán Việt để chế tác thuật ngữ Toán không phải là ngẫu hứng đâu, mà nó tuân theo mấy nguyên tắc cốt lõi, và chính những nguyên tắc này tạo nên "sức mạnh" cho đám từ này trong thế giới khoa học khô khan đó.

Chuẩn không cần chỉnh và ngắn gọn đầy uy lực

Một trong những điểm cộng to đùng của từ Hán Việt khi làm thuật ngữ là khả năng diễn đạt ý nghĩa cực kỳ chính xác mà lại cô đọng. Nghe hơi "deep" nhưng đại loại là mỗi "mảnh ghép" Hán Việt (thường là một âm tiết ứng với một chữ Hán) nó đã gói ghém sẵn một nét nghĩa rất đặc trưng, súc tích rồi. Khi ghép chúng lại với nhau, bùm! Ta có ngay một thuật ngữ chặt chẽ, ít gây hiểu lầm.

Một ví dụ kinh điển là "Tam giác" (三角). Quá rõ ràng: "tam" (三) là ba, "giác" (角) là góc. Ghép lại thành "hình có ba góc". Chuẩn đét, không lệch đi đâu được cái đặc điểm cốt lõi. Hay như "Tích phân" (積分): "Tích" (積) là tích lũy, gom góp lại; "phân" (分) là phần nhỏ. Ghép lại nó gợi tả ngay cái ý niệm "tích lũy những phần siêu nhỏ". Nghe là thấy mùi Giải tích rồi đúng không?

Cái sự ngắn gọn mà "chất" này nó khác hẳn với mấy cách diễn đạt thuần Việt đôi khi phải dài dòng giải thích mà có khi còn chưa chắc đã chuẩn bằng, nhất là khi đụng tới mấy khái niệm khoa học phức tạp.

Logic: tính hệ thống trong cấu tạo

Hệ thống thuật ngữ Toán Hán Việt nó có một cái logic và cấu trúc rất mạch lạc. Bí quyết nằm ở việc tái sử dụng các "nhân tố" (yếu tố) Hán Việt cốt lõi để gọi tên các khái niệm có liên quan với nhau.

Thử nhìn xem:

• Lấy "nhân vật chính" là "số" (數): Ta có cả một dàn "họ hàng": số học, đại số, hàm số, biến số, hằng số, số nguyên, phân số, số phức... Thấy không? Cứ liên quan đến số là auto có mặt chữ "số".

• Hay với "hình" (形): Có ngay hình học, hình vuông, hình tròn...

• Rồi "giác" (角 - góc): Tam giác, tứ giác, góc vuông...

• Và "tuyến" (線 - đường): Đường thẳng (trực tuyến), đường cong (khúc tuyến), tiếp tuyến, song khúc tuyến (mình vietsub từng từ bằng cách tra từ điển Hán - Việt từ tiếng Trung, hyperbole - nghe hơi lạ tai nhưng vẫn là "tuyến" đó!).

  
  

Việc dùng đi dùng lại mấy "viên gạch" Hán Việt này một cách nhất quán không chỉ giúp mình dễ nhận diện "họ hàng" nhà nó, mà còn phản ánh luôn cái mối liên kết bên trong giữa các khái niệm toán học. Giúp người học hệ thống kiến thức ngon ơ luôn! Cái này không phải ăn may đâu nha, mà là kết quả của một nỗ lực có chủ đích để xây dựng một "vũ trụ từ vựng" khoa học mạch lạc, nơi mà những đứa con tinh thần liên quan sẽ chia sẻ chung ADN ngữ nghĩa.

Tại sao từ Hán Việt lại “được lòng” giới khoa học? (Góc nhìn từ học giả Cao Xuân Hạo)

Có một học giả "gạo cội" trong ngành ngôn ngữ là cụ Cao Xuân Hạo đã chỉ ra mấy cái lợi thế rất đặc biệt của từ Hán Việt khi được trưng dụng làm thuật ngữ khoa học. Mình tóm tắt lại theo style dễ hiểu hơn:

Một - Ngữ pháp chặt chẽ, khó bẻ cong: Mấy cụm từ Hán Việt thường có cấu trúc ngữ pháp (quan hệ chính-phụ hay đẳng lập) rõ ràng và "cứng" hơn từ thuần Việt. Điều này giúp giảm thiểu tối đa sự mập mờ, hiểu lầm tai hại trong khoa học - nơi mà một chữ sai đi một ly là kết quả "bay màu" ngay.

Ví dụ cụ đưa ra khá hay: "phẫu thuật viên Nam" thì 100% là ông bác sĩ mổ tên Nam. Nhưng nếu nói "người mổ Nam" thì có thể là người mổ cho anh Nam, hoặc người mổ tên Nam (câu mơ hồ, điều mà cả học sinh và các giáo sư đang tốn khá nhiều bút mực cho nó). Đấy, sự chặt chẽ của Hán Việt giúp đảm bảo tính đơn nghĩa, một yêu cầu sống còn của ngôn ngữ khoa học.

Hai - "Filter" chống đoán mò (Tránh vọng văn sinh nghĩa): Từ thuần Việt đôi khi nó gần gũi quá, dễ khiến người ta áp cái nghĩa thông thường vào thuật ngữ khoa học, dẫn đến hiểu sai (cái này gọi là "vọng văn sinh nghĩa" - nhìn mặt chữ đoán mò ý nghĩa). Ngược lại, từ Hán Việt, do nó hơi "lạ", hơi trừu tượng hơn, lại vô tình trở thành cái "filter" hiệu quả.

Ví dụ huyền thoại: Dịch "Leukemia" thành "bệnh ung thư bạch cầu" (Hán Việt) thay vì "bệnh máu trắng" (thuần Việt). Nghe "máu trắng" dễ liên tưởng linh tinh hoặc nhầm với bệnh khác lắm. Còn "ung thư bạch cầu" thì nó buộc người nghe/đọc phải tìm hiểu đúng định nghĩa khoa học của nó là gì, chứ không suy diễn lung tung được. Tính "khó hiểu" tương đối ở đây lại là một ưu điểm!

Ba - Mang “vibe” trịnh trọng, học thuật: Không thể phủ nhận là từ Hán Việt thường khoác lên mình một sắc thái trang trọng, kiểu học thuật hơn so với từ thuần Việt đồng nghĩa.

Ví dụ: "phụ nữ" nghe khác hẳn "đàn bà" (mùi định kiến giới), "kiến thiết" khác "xây dựng", "thiên nhiên" khác "trời đất". Cái "vibe" này nó lại rất hợp với tính chất khách quan, nghiêm túc cần có của diễn ngôn khoa học. Nó tạo ra một ranh giới cần thiết giữa ngôn ngữ đời thường và ngôn ngữ chuyên ngành, giúp người đọc/nghe biết mình đang ở trong "không gian" nào.

Túm cái váy lại, việc giới khoa học ngày xưa ưu tiên dùng từ Hán Việt để đặt thuật ngữ là có lý do cả đấy. Nó xuất phát từ nhu cầu cần khách quan, chính xác, và có khả năng biểu đạt phổ quát (ít nhất là trong khu vực ảnh hưởng văn hóa Hán). Điều này giúp hạn chế tính chủ quan, sự phụ thuộc vào ngữ cảnh hay những mơ hồ tiềm ẩn mà một số từ thuần Việt có thể mắc phải.

II. Phân tích từ nguyên các thuật ngữ toán học phổ biến

Phần trước mình đã ngó qua mấy nguyên tắc chung khi các tiền bối "chế" ra thuật ngữ Toán Hán Việt rồi ha. Giờ thì tới tiết mục chính: mổ xẻ, phân tích từ nguyên của một số "ngôi sao" quen mặt trong làng toán học Việt Nam. Cảnh báo: phần này hơi nhiều chữ và chi tiết, nhưng mà ngẫm lại thấy hay ghê lắm đó!

Mình sẽ đi theo từng khu vực chính trong bản đồ toán học nhé.

Số học (算術/數學) và Đại số (代數) - Arithmetic and Algebra

Mấy môn cơ bản nhất đây rồi! Tên gọi mấy "đại ca" này:

• Số học (數學): Chỗ này có chút "drama" tên gọi nè. Hiện đại thì chữ 数学 (shùxué) bên Trung thường chỉ toán học nói chung (數 - số/toán, 學 - học). Nhưng cũng có nguồn dùng 数学 (Số học) để chỉ toán học, và lại dùng 算術 (Toán thuật) để chỉ môn Số học (Arithmetic) cơ bản mình hay học hồi cấp 1-2 á. "Toán" (算) là tính toán, "Thuật" (術) là kỹ thuật, phương pháp, vậy "Toán thuật" là kỹ thuật tính toán, nghe hợp lý ha? Sự không nhất quán này chắc là do thay đổi cách dùng theo thời gian hoặc tùy hệ thống tham khảo thôi. Coi như một nét thú vị của lịch sử thuật ngữ vậy.

• Đại số (代數): Như đã "bóc term" ở phần 1, nhớ kỹ nha: "Đại" (代) là THAY THẾ, không phải "to lớn" đâu! "Số" (數) là số. Vậy "Đại số" chính là môn học dùng cái khác (chữ nè, ký hiệu nè) để thay thế cho số. Quá chuẩn bài cho bản chất của môn này luôn!

  
  

Mình có tra và tạo bảng thuật ngữ như sau:

Thuật ngữ (Tiếng Việt)	Chữ Hán	Nghĩa gốc các yếu tố	Liên hệ với khái niệm toán học
Toán học	數學 / 算學	Toán (算): tính toán; Số (數): số, toán; Học (學): học tập, nghiên cứu	Ngành nghiên cứu về tính toán, số lượng, cấu trúc, không gian, thay đổi
Đại số	代數	Đại (代): thay thế; Số (數): số	Ngành học sử dụng ký hiệu thay thế cho số để nghiên cứu cấu trúc, quan hệ, lượng
Phương trình	方程	Phương (方): phương cách, phương pháp, hình vuông; Trình (程): quy tắc, công thức, trình tự, mức độ	Biểu thức thể hiện quy tắc, sự bằng nhau giữa các đại lượng, thường dùng để tìm ẩn số
Hệ phương trình	系統方程/方程組	Hệ thống (系統): hệ thống; Phương trình (方程). Hoặc Phương trình (方程); Tổ (組): nhóm, tổ.	Tập hợp gồm hai hay nhiều phương trình có chung các biến số, cần tìm nghiệm thỏa mãn đồng thời tất cả các phương trình trong hệ thống/nhóm.
Bất đẳng thức	不等式	Bất (不): không; Đẳng (等): bằng; Thức (式): dạng, công thức	Một mệnh đề toán học so sánh hai biểu thức bằng các dấu không bằng nhau (<, >, ≤, ≥).
Hàm số	函數	Hàm (函): chứa đựng, bao gồm, hộp, thư tín; Số (數): số	Quy tắc ánh xạ "chứa đựng" giá trị đầu ra tương ứng với mỗi giá trị đầu vào
Biến số	變數	Biến (變): thay đổi; Số (數): số	Đại lượng (số hoặc ký hiệu) có giá trị có thể thay đổi
Bội số	倍數	Bội (倍): gấp lên; Số (數): số	Số thu được khi nhân một số nguyên cho một số nguyên khác (khác 0).
Lũy thừa	冪 / 累乘	Mịch (冪): trùm lên, lũy thừa. Hoặc: Lũy (累): chồng chất; Thừa (乘): nhân lên.	Phép toán nhân một số với chính nó nhiều lần. "Mịch" gợi hình ảnh số mũ "trùm lên" cơ số. "Lũy thừa" gợi tả việc "nhân chồng chất" lên.
Khai căn	開根	Khai (開): mở ra; Căn (根): rễ, gốc	Phép toán ngược của lũy thừa, tìm "gốc rễ" (căn) của một số.
Căn thức	根式	Căn (根): rễ, gốc; Thức (式): dạng, công thức	Biểu thức toán học chứa dấu căn, thể hiện dạng có phép khai căn.
Hằng số	常數	Hằng (常): thường xuyên, không đổi; Số (數): số	Đại lượng (số hoặc ký hiệu) có giá trị không đổi
Số nguyên	整數	Chỉnh (整): nguyên vẹn, toàn bộ; Số (數): số	Tập hợp các số bao gồm số 0, các số dương (1, 2, 3,...) và các số âm đối của chúng (-1, -2, -3,...), tức là các số "nguyên vẹn", không có phần lẻ thập phân.
Số hữu tỉ	有理數	Hữu (有): có Lý (理): lẽ, tỉ lệ Số (數): số	Số có thể biểu diễn dưới dạng tỉ lệ (lý) của hai số nguyên (a/b, với b ≠ 0).
Số vô tỉ	無理數	Vô (無): không; Lý (理): lẽ, tỉ lệ Số (數): số	Số không thể biểu diễn dưới dạng tỉ lệ của hai số nguyên.
Số phức	複數	Phức (複): kép, phức tạp; Số (數): số	Số có dạng a+bi, bao gồm phần thực (a) và phần ảo (b), mở rộng khái niệm số thực.
Phân số	分數	Phân (分): chia, phần; Số (數): số	Số biểu thị một phần của một tổng thể, kết quả của phép chia
Cộng	加	Gia (加): thêm vào, tăng lên	Phép toán thêm một số vào một số khác
Trừ	減	Giảm (減): bớt đi, giảm xuống	Phép toán lấy đi một số từ một số khác
Nhân	乘	Thừa (乘): nhân lên, cưỡi (ngựa, xe)	Phép toán lặp lại phép cộng nhiều lần
Tích	積	Tích (積): tích lũy, chồng chất, sản phẩm	Kết quả của phép nhân (sự tích lũy)
Thương	商	Thương (商): thương số, bàn bạc	Kết quả của phép chia
Tổng	和	Hòa (和): tổng cộng, hòa hợp, và (và nó là và)	Kết quả của phép cộng
Hiệu	差	Soa (差): sai khác, kém	Kết quả của phép trừ (sự khác biệt)
Đạo hàm	導函數	Đạo (導): dẫn dắt, suy ra; Hàm số (函數): hàm số	Hàm số được "suy ra" từ hàm số khác, biểu thị tốc độ thay đổi
Nguyên hàm	原函數	Nguyên (原): gốc, ban đầu; Hàm số (函數): hàm số	Hàm số "gốc" mà từ đó đạo hàm được tạo ra (phép toán ngược của đạo hàm)
Hợp số	合數	Hợp (合): hợp lại, ghép lại Số (數): số	Số tự nhiên lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố, có thể được hợp thành từ tích của các số nguyên tố nhỏ hơn.
Số nguyên tố	素數 / 質數	Tố (素): cơ bản, gốc, mộc mạc; Số (數): số. Hoặc Chất (質): bản chất, vật chất; Số (數): số.	Số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có hai ước là 1 và chính nó, là những số cơ bản, không thể phân tích thành tích các số nhỏ hơn. "Tố" nhấn mạnh tính đơn giản, "Chất" nhấn mạnh tính cơ bản, nền tảng.
Đồng dư	同餘	Đồng (同): cùng; Dư (餘): số dư	Mối quan hệ giữa hai số nguyên có cùng số dư khi chia cho một số nguyên dương cho trước (mô-đun).

Cùng soi kỹ hơn mấy nhân vật ở trển nhé:

• Phương trình (方程): "Phương" (方) ở đây không phải phương hướng đâu nhé, mà nên hiểu là phương pháp, công thức. "Trình" (程) là quy tắc, trình tự. Ghép lại, "phương trình" gợi lên một cái gì đó rất cấu trúc: một công thức có quy tắc để thể hiện sự bằng nhau, từ đó mò ra ẩn số. Nghe như trò giải đố ha!

• Hàm số (函數): Vẫn là cái "hộp thần kỳ" (函) chứa đựng (數) số đây! Hình ảnh này vẫn cứ là đỉnh cao để hình dung mối quan hệ input-output.

• Đạo hàm (導函數) & Nguyên hàm (原函數): Cặp đôi này do GS Hoàng Xuân Hãn dùng tên siêu logic luôn. "Đạo" (導) là dẫn dắt, suy ra, vậy hàm số được suy ra từ hàm gốc để xem tốc độ thay đổi. "Nguyên" (原) là gốc, ban đầu, vậy hàm số gốc mà từ đó mình tính ra đạo hàm. Một cái là "suy ra", một cái là "gốc" - thể hiện rõ mối quan hệ ngược nhau, như hình với bóng!

Để ý mà xem, ngay cả mấy phép toán cơ bản nhất (cộng, trừ, nhân) và kết quả của chúng (tổng, hiệu, tích, thương) cũng toàn dùng từ Hán Việt quen thuộc. Điều này cho thấy mấy "viên gạch" Hán Việt này đã xây nền móng cực sâu cho ngôn ngữ Toán học ở Việt Nam mình rồi.

Hình học (幾何) - Geometry

Giờ qua khu vực của các hình khối, đường nét nào! Ở đây chỉ bơ vơ lĩnh vực Hình học (幾何) thôi: Nghe thì tưởng "Hình" (形) là hình dạng, "Học" (學) là học, vậy ra là học về hình. Nhưng... hai chữ 幾何 (jǐhé) thực ra là do người Trung Hoa xưa phiên âm hoặc chuyển tự từ chữ "geometria" (γεωμετρία - đo đạc đất đai) của tiếng Hy Lạp cổ đó! Tiếng Việt mình kế thừa cách đọc Hán Việt này. Nên việc nó có nghĩa "học về hình" chỉ là sự trùng hợp ngẫu nhiên về âm thanh thôi, chứ không phải ghép nghĩa của chữ 幾 (kỷ/cơ - mấy, bao nhiêu) và 何 (hà - cái gì) lại đâu.

Dàn cast của hình học đây:

Thuật ngữ (Tiếng Việt)	Chữ Hán	Nghĩa gốc các yếu tố	Liên hệ với khái niệm toán học
Hình học	幾何	Hình (形): hình dạng; Học (學): học tập (Lưu ý: 幾何 là phiên âm/chuyển tự từ tiếng Hy Lạp)	Ngành nghiên cứu về hình dạng, kích thước, vị trí của các đối tượng trong không gian
Tam giác	三角	Tam (三): ba; Giác (角): góc, sừng	Hình có ba góc (và ba cạnh)
Tứ giác	四角	Tứ (四): bốn; Giác (角): góc, sừng	Hình có bốn góc (và bốn cạnh)
Đa giác	多邊形	Đa (多): nhiều; Biên (邊): cạnh; Hình (形): hình dạng	Hình phẳng khép kín được tạo bởi nhiều đoạn thẳng (cạnh) nối tiếp nhau.
Điểm	點	Điểm (點): chấm, dấu, vị trí	Một vị trí xác định trong không gian, không có kích thước
Trung tuyến	中線	Trung (中): giữa, trung tâm Tuyến (線): đường, dây	Đường kẻ đi qua điểm giữa (đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện.)
Trung trực	中直	Trung (中): giữa, trung tâm Trực (直) : thẳng đứng, trực giao, vuông góc, ngay thẳng.	Đường kẻ vuông góc tại điểm giữa (trung điểm).
Cạnh huyền	弦	Cạnh (cạnh - Nôm?) + (có yếu tố HV) Huyền (弦): dây cung, dây đàn	Cạnh đối diện góc vuông trong tam giác vuông (như dây căng qua góc)
Đồng quy	同歸	Đồng (同): cùng, giống nhau; Quy (歸): trở về, tụ về	Cùng đi về một điểm, gặp nhau tại một điểm
Song song	平行	Bình (平): bằng phẳng, ngang bằng; Hành (行): đi, di chuyển	(Hai đường thẳng) di chuyển ngang bằng nhau, không bao giờ cắt nhau
Định lý	定理	Định (定): xác định, cố định; Lý (理): lẽ phải, quy luật	Một mệnh đề toán học quan trọng đã được chứng minh là đúng, một quy luật đã được xác định.
Chứng minh	證明	Chứng (證): bằng chứng, xác nhận; Minh (明): rõ ràng	Quá trình lập luận logic để khẳng định rõ ràng sự đúng đắn của một mệnh đề dựa trên các chứng cứ (tiên đề, định lý đã biết).
Giả thiết	假設	Giả (假): giả định, tạm cho là; Thiết (設): đặt ra, bày ra	Điều kiện ban đầu được tạm thời đặt ra để làm cơ sở cho suy luận hoặc chứng minh.
Kết luận	結論	Kết (結): kết thúc, tổng kết; Luận (論): bàn luận, lý lẽ.	Điều được suy ra, kết quả của quá trình suy luận hoặc chứng minh.
Câu cổ định lý	勾股定理	Câu (勾): cạnh góc vuông ngắn; Cổ (股): cạnh góc vuông dài; Định lý (定理): định lý	Định lý về mối quan hệ giữa ba cạnh của tam giác vuông (theo cách gọi cổ)
Song khúc tuyến (hyperbol)	雙曲線	Song (雙): đôi, kép; Khúc (曲): cong; Tuyến (線): đường	Đường cong có hai nhánh đối xứng (đường cong kép)

Giải mã vài gương mặt thân quen:

• Tam giác (三角): Quá trực quan, "ba góc", chuẩn không cần chỉnh.

• Cạnh huyền (弦): Từ này hay nè! "Huyền" (弦) nghĩa là dây cung hoặc dây đàn. Liên tưởng đến cạnh dài nhất trong tam giác vuông nó giống như sợi dây đàn căng qua cái góc vuông đó. Rất hình ảnh! Chữ "cạnh" có thể là từ Nôm thuần Việt kết hợp với "huyền" Hán Việt.

• Đồng quy (同歸): "Đồng" (同) là cùng, "Quy" (歸) là tụ về. "Cùng tụ về một nơi". Diễn tả siêu chính xác hiện tượng mấy đường thẳng cùng đi qua một điểm. (Nên nói "3 đường thẳng đồng quy" là đủ, thêm "tại một điểm" là hơi thừa chữ đó!).

• Câu cổ định lý (勾股定理): Tên Hán Việt của định lý Pythagore "huyền thoại". Ngày xưa bên Trung Hoa, "câu" (勾) là cạnh góc vuông ngắn, "cổ" (股) là cạnh góc vuông dài. Biết cái này tự dưng thấy định lý Pythagore có thêm một lớp "vỏ bọc" lịch sử thú vị…

Câu đổ định lý (thuật ngữ xưa, giờ không còn ai gọi)

Nhìn chung, mấy thuật ngữ Hình học Hán Việt có độ "trong suốt" về nghĩa khác nhau. Có cái rõ như ban ngày (tam giác, đồng quy), có cái cần trí tưởng tượng (cạnh huyền), có cái lại là di tích lịch sử (câu cổ định lý), còn cái tên ngành thì lại là hàng "nhập khẩu" phiên âm! Đúng là muôn màu muôn vẻ.

Giải tích (解析) - Calculus/Analysis

Khu vực "hack não" với giới hạn, đạo hàm, tích phân đây rồi!

Tên lĩnh vực:

• Giải tích (解析): "Giải" (解) là cởi ra, phân giải, làm rõ. "Tích" (析) là phân tích, chẻ ra (như chẻ củi ấy). Ghép lại, "Giải tích" đúng nghĩa là phân tích, mổ xẻ vấn đề để làm sáng tỏ. Quá hợp với bản chất của ngành này - chuyên chia nhỏ vấn đề phức tạp (giới hạn, vi phân, tích phân) để xử lý.

• Lưu ý nhỏ: Đôi khi người ta dùng 微積分 (Vi Tích Phân) để chỉ Calculus (phép tính vi phân và tích phân). Đây là một phần quan trọng nhưng hẹp hơn Giải tích (Analysis - 解析). Nhớ phân biệt nha!

Điểm danh vài thuật ngữ giải tích:

Thuật ngữ (Tiếng Việt)	Chữ Hán	Nghĩa gốc các yếu tố	Liên hệ với khái niệm toán học
Giải tích	解析	Giải (解): giải thích, phân giải; Tích (析): phân tích, chia tách	Ngành học phân tích các hàm số, giới hạn, liên tục, đạo hàm, tích phân
Vi phân	微分	Vi (微): nhỏ bé, vi mô; Phân (分): phần, chia	Phép tính liên quan đến sự thay đổi vô cùng nhỏ, tốc độ thay đổi tức thời
Tích phân	積分	Tích (積): tích lũy, chồng chất; Phân (分): phần, chia	Phép tính tích lũy các phần vô cùng nhỏ (ngược với vi phân)
Vi tích phân	微積分	Vi (微): nhỏ bé, vi mô; Tích (積): tích lũy, chồng chất Phân (分): chia, phần	Tên gọi chung cho hai nhánh cốt lõi của giải tích là Vi phân (phép toán liên quan đến sự thay đổi nhỏ) và Tích phân (phép toán liên quan đến việc tích lũy các phần nhỏ).
Giới hạn	界限	Giới (界): ranh giới, phạm vi; Hạn (限): giới hạn, hạn chế	Giá trị mà hàm số tiến đến khi biến số tiến đến một giá trị nào đó
Liên tục	連續	Liên (連): nối liền, liên kết; Tục (續): tiếp tục	Tính chất của hàm số có đồ thị liền mạch, không bị đứt đoạn
Đạo hàm	導函數	Đạo (導): dẫn dắt, suy ra; Hàm số (函數): hàm số	Hàm số được suy ra từ hàm số khác, biểu thị tốc độ thay đổi
Cực trị	極值	Cực (極): tận cùng, cao nhất/thấp nhất Trị (值): giá trị	Giá trị lớn nhất (cực đại) hoặc nhỏ nhất (cực tiểu) của hàm số trong một khoảng xác định, tức là các điểm tận cùng về giá trị.

Bình luận nhanh:

• Vi phân (微分): "Vi" (微) là siêu nhỏ, "Phân" (分) là phần/chia, hoá ra là "phần cực nhỏ". Diễn tả đúng cái cốt lõi là xem xét những thay đổi vô cùng nhỏ.

• Tích phân (積分): "Tích" (積) là tích lũy, "Phân" (分) là phần, vậy nghĩa là "tích lũy các phần nhỏ". Phản ánh đúng quá trình cộng dồn vô số cái cực nhỏ lại để ra cái tổng thể (diện tích, thể tích...). Hai cái tên Vi phân - Tích phân đúng là khắc họa hoàn hảo mối quan hệ ngược nhau nền tảng của giải tích.

Lý thuyết tập hợp(集合論) và Logic toán (數理邏輯)

Lần này, mình sẽ lấn sân sang hai "khu vực" nghe có vẻ hơi trừu tượng nhưng lại là nền tảng siêu siêu quan trọng của toán học hiện đại (đặc biệt là với dân IT như mình): Lý thuyết tập hợp (集合論) và Logic toán (數理邏輯). Mấy món này là về cách gom nhóm đối tượng và các quy tắc suy luận, chứng minh đó. Nghe hơi khô nhưng tên gọi của chúng cũng có nhiều điều đáng nói.

Dàn từ vựng của khu vực này đây:

Thuật ngữ (Tiếng Việt)	Chữ Hán	Nghĩa gốc các yếu tố	Liên hệ với khái niệm toán học
Tập hợp	集合	Tập (集): tụ họp, gom lại; Hợp (合): hợp lại, cùng nhau	Một bộ sưu tập các đối tượng (phần tử) được xác định rõ ràng, được gom lại (tập) và hợp thành (hợp) một chỉnh thể.
Phần tử	分子	Phân (分): phần, chia; Tử (子): con, cái nhỏ, hạt	Một đối tượng riêng lẻ thuộc về một tập hợp, là một "phần nhỏ" (phân tử) cấu thành nên tập hợp đó.
Giao (của hai tập hợp)	交集	Giao (交): cắt nhau, gặp nhau, trao đổi Tập (集): tập hợp	Tập hợp chứa các phần tử chung của hai hay nhiều tập hợp, là phần "giao nhau" giữa các tập hợp đó.
Hợp (của hai tập hợp)	合集 / 並集	Hợp (合): hợp lại, cùng nhau Tập (集): tập hợp. Hoặc Tịnh (並): cùng nhau, song song; Tập (集): tập hợp.	Tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong các tập hợp đang xét, là sự hợp nhất các phần tử lại.
Mệnh đề	命題	Mệnh (命): mệnh lệnh, phát biểu, lời nói; Đề (題): đề mục, vấn đề, câu hỏi	Một phát biểu khẳng định hoặc phủ định có giá trị chân lý xác định (đúng hoặc sai), một vấn đề được phát biểu..
Phép hội	合取 / 連言	Hợp (合): hợp lại; Thủ (取): lấy. Hoặc Liên (連): nối liền; Ngôn (言): lời nói.	Phép toán logic "VÀ" (∧), kết hợp hai mệnh đề lại với nhau.
Phép tuyển	選取 / 離言	Tuyển (選): chọn lựa; Thủ (取): lấy. Hoặc Ly (離): tách rời; Ngôn (言): lời nói.	Phép toán logic "HOẶC" (∨), thể hiện sự lựa chọn giữa hai mệnh đề.
Phủ định	否定	Phủ (否): không phải; Định (定): xác định	Phép toán logic "KHÔNG" (¬), đảo ngược giá trị chân lý của một mệnh đề.

Chỗ này có ví dụ cực hay cho thấy cách mà người xưa đã tạo ra thuật ngữ Hán Việt:

"Tập hợp" (集合): Từ này đúng là một ví dụ "xuất sắc của tạo hóa". Phân tích ra nhé: "Tập" (集) có nghĩa là tụ họp, gom lại. "Hợp" (合) nghĩa là hợp lại, cùng nhau. Ghép hai chữ này lại, ta được một cái tên diễn tả không thể chuẩn hơn cái ý niệm về một bộ sưu tập các đối tượng được "gom lại" và "hợp thành" một đơn vị duy nhất. Nó khớp hoàn hảo với định nghĩa toán học luôn!

Xác suất (確率) và Thống kê (統計) - Probability and Statistics

Cuối cùng, ghé qua khu vực của may rủi (làm mình nhớ đến Campuchia, mặc dù chả biết tại sao mình lại nhớ vậy) và dữ liệu (ngành của mình)!

Tên lĩnh vực:

• Xác suất (確率): "Xác" (確) là chắc chắn, đúng thật. "Suất" (率) là tỉ lệ. Vậy "Xác suất" là tỉ lệ chắc chắn có thể xảy ra của một sự kiện. Nghe rất sát nghĩa!

• Thống kê (統計): "Thống" (統) là tổng hợp, hệ thống. "Kê" (計) là đếm, tính toán. "Thống kê" là việc tính toán, thu thập một cách có hệ thống. Mô tả đúng công việc của ngành này luôn.

  
  

Một vài thuật ngữ tiêu biểu:

Thuật ngữ (Tiếng Việt)	Chữ Hán	Nghĩa gốc các yếu tố	Liên hệ với khái niệm toán học
Xác suất	確率	Xác (確): chắc chắn, thật; Suất (率): tỉ lệ	Tỉ lệ, khả năng xảy ra của một biến cố
Thống kê	統計	Thống (統): tổng hợp, hệ thống; Kê (計): đếm, tính toán	Ngành học thu thập, phân tích, diễn giải và trình bày dữ liệu một cách hệ thống
Biến cố	變故	Biến (變): thay đổi, sự kiện; Cố (故): sự việc, nguyên nhân	Một sự kiện hoặc kết quả có thể xảy ra trong một phép thử ngẫu nhiên
Kỳ vọng	期望	Kỳ (期): mong đợi, thời kỳ; Vọng (望): trông mong, nhìn về	Giá trị trung bình mong đợi của một biến ngẫu nhiên qua nhiều lần thử
Phương sai	方差	Phương (方): phương pháp, bình phương (?); Sai (差): sai khác, độ lệch	Đại lượng đo mức độ phân tán của dữ liệu quanh giá trị trung bình (liên quan đến bình phương độ lệch)
Tần suất	頻率	Tần (頻): thường xuyên, lặp lại; Suất (率): tỉ lệ	Tỉ lệ xuất hiện của một biến cố hoặc một giá trị trong một số lần thử hoặc một tập dữ liệu, đo mức độ thường xuyên xảy ra.
Trung bình	平均	Bình (平): bằng phẳng, đều; Quân (均): đều, bằng nhau	Giá trị đại diện cho một tập hợp số, thường là tổng các số chia cho số lượng các số đó, mang tính "cân bằng", "đều".
Trung vị	中位	Trung (中): giữa; Vị (位): vị trí	Giá trị nằm ở vị trí chính giữa của một tập dữ liệu đã được sắp xếp theo thứ tự.
Biến ngẫu nhiên	隨機變數 / 偶然變數	Tùy cơ (隨機): ngẫu nhiên, tùy ý; Biến số (變數): biến số. Hoặc Ngẫu nhiên (偶然): tình cờ, ngẫu nhiên; Biến số (變數): biến số.	Biến số mà giá trị của nó là một kết quả bằng số của một hiện tượng ngẫu nhiên.

Phân tích nhanh:

• Xác suất (確率): Như đã nói, "tỉ lệ chắc chắn". Khá thú vị là tiếng Trung hiện đại hay dùng 概率 (gàilǜ) với 概 (khái - ước chừng) hơn. Cách dùng 確 (xác) của tiếng Việt có vẻ nhấn mạnh hơn khía cạnh "chắc chắn" của khả năng.

• Thống kê (統計): "Tổng hợp" (thống) và "tính toán" (kê) một cách có hệ thống. Nghe là hình dung ra công việc của các nhà thống kê liền! Giờ AI mà làm “thống kê” (cụ thể là kế toán) thì còn ai đi tù thay nữa.

  
  

Wow, vậy là chúng ta đã cùng nhau "bóc tách" khá nhiều thuật ngữ Toán Hán Việt phổ biến rồi đó! Thấy không, đằng sau mỗi cái tên quen thuộc đôi khi là cả một câu chuyện thú vị về ngữ nghĩa, về lịch sử, về cách tư duy của người xưa khi xây dựng nên ngôn ngữ khoa học cho chúng ta ngày nay. Hi vọng sau bài này, bạn sẽ thấy mấy môn Toán khô khan kia... đỡ khô khan hơn chút đỉnh.

III. Một số ý kiến của mình

Nói đi cũng phải nói lại, kho tàng thuật ngữ Toán học của Việt Nam mình không phải 100% là hàng Hán Việt đâu nha. Thực tế là một sự pha trộn, một món lẩu thập cẩm khá thú vị đó.

Bên cạnh đại đa số các anh tài Hán Việt mà mình đã kể ở trên, vẫn có những thuật ngữ thuần Việt xịn sò được chấp nhận rộng rãi và dùng thấy rất hợp lý, tự nhiên. Ví dụ như mấy từ siêu quen thuộc: "dãy", "chuỗi", "khoảng cách", "giá trị riêng", “hơn”, “kém”... Mấy từ này nghe nó gần gũi, dễ hình dung đúng không?

Tuy nhiên, phải thừa nhận là phe Hán Việt vẫn chiếm ưu thế áp đảo. Và cũng có những giai đoạn, người ta cố gắng thuần Việt hóa triệt để hơn, dịch tuốt tuồn tuột sang từ thuần Việt. Nhưng mà, nỗ lực này đôi khi lại tạo ra những "sản phẩm" hơi... khó đỡ. Có những từ bị chê là thiếu tự nhiên, dài dòng hoặc thậm chí là khó hiểu theo một kiểu khác.

Điển hình là mấy vụ dịch kiểu "nhìn mặt chữ đoán nghĩa" mà thành ra ngô nghê, như dịch "dénombrable" (tập hợp đếm được, có thể tương ứng 1-1 với số tự nhiên) thành "không quá đếm được" (?!) hay "nulle part dense" (tập hợp không trù mật ở bất kỳ đâu) thành "không đâu trù mật". Mấy kiểu dịch này từng bị các nhà ngôn ngữ học gạo cội ví von là dịch kiểu "cơm chấm cơm" – tức là lặp lại chính cái nghĩa cần giải thích một cách vụng về.

Thế nên mới có luồng ý kiến cho rằng không nên quá cứng nhắc chuyện phải dùng thuần Việt bằng mọi giá. Bởi vì sao? Vì từ Hán Việt, qua bao nhiêu năm tháng, nó đã trở thành một phần rất tự nhiên của ngôn ngữ và văn hóa Việt Nam mình rồi. Cố loại bỏ nó đi đôi khi lại thành ra gượng ép.

Cuộc tranh luận này thực ra không chỉ là chuyện chữ nghĩa đâu, mà nó còn dính dáng tới cả quan điểm về giáo dục (nên ưu tiên tính chính xác khoa học tuyệt đối hay tính dễ tiếp cận cho học sinh?) và cả câu chuyện về bản sắc ngôn ngữ quốc gia nữa. Đúng là "drama nhiều tập" ha!

Okay, quay lại với thực tại của hội học sinh, sinh viên chúng mình. Việc hệ thống thuật ngữ Toán chủ yếu là Hán Việt nó ảnh hưởng trực tiếp đến việc dạy và học.

• Mặt trái: Không thể phủ nhận, với nhiều bạn, mấy cái tên Hán Việt này ban đầu nghe nó cứ xa lạ, khó hiểu. Nếu thầy cô không giải thích rõ gốc gác, ý nghĩa, mà chỉ bắt học thuộc lòng, thì chúng nó dễ trở thành rào cản. Mình chỉ nhớ cái tên như nhớ một cái nhãn hiệu trừu tượng ("À, cái này gọi là 'vi phân', cái kia là 'tích phân'...") mà chẳng hiểu tại sao nó lại có tên như vậy, cái logic đằng sau là gì. Kiểu học vẹt này vừa mệt não mà hiệu quả lại chẳng cao, khó mà vận dụng kiến thức linh hoạt được.

• Mặt phải (Và đây là lý do mình viết bài này!): Ngược lại, nếu mình được trang bị kiến thức về từ nguyên Hán Việt, thì mọi chuyện khác hẳn! Mấy thuật ngữ khó nhằn kia có thể "biến hình" thành những công cụ gợi nhớ, những cái "neo" tư duy cực kỳ hiệu quả.

  • Khi bạn hiểu "vi phân" (微分) có chữ "vi" (微) nghĩa là nhỏ bé, bạn sẽ dễ liên tưởng đến việc xét những thay đổi siêu nhỏ.

  • Khi bạn biết "tích phân" (積分) có chữ "tích" (積) là tích lũy, bạn sẽ dễ hình dung quá trình cộng dồn các phần nhỏ lại.

  • Khi bạn nhớ "đại số" (代數) có chữ "đại" (代) là thay thế, bạn sẽ nắm ngay cốt lõi của môn học là dùng chữ thay cho số.

Thấy chưa? Mấy khái niệm Toán học trừu tượng tự dưng trở nên gần gũi, "thân thiện" và dễ nắm bắt hơn hẳn khi mình hiểu được cái lý do đằng sau cái tên của nó.

IV. Kết (tạm thời)

(Từ mọi thứ ở trên) Mình nghĩ rằng việc lồng ghép kiến thức từ nguyên Hán Việt vào việc dạy Toán là một ý tưởng không tồi chút nào, một "phương pháp sư phạm tiềm năng" đó chứ! Nó giúp học sinh không chỉ học thuộc công thức, định lý, mà còn hiểu sâu hơn về cái logic ẩn chứa bên trong, về mối liên hệ thú vị giữa toán học và ngôn ngữ, một mũi tên trúng hai đích.

Hy vọng sau mấy phần "bóc term" này, các bạn sẽ nhìn những cái tên toán học quen thuộc dưới một lăng kính mới, thấy chúng không chỉ là những ký hiệu khô khan mà còn chứa đựng cả một kho tàng văn hóa và tư duy đáng để khám phá.

Lần tới khi gặp một khái niệm toán học mới hay một công thức "khó nhằn", thử dành vài phút "tra gốc" Hán Việt của nó xem sao nhé, biết đâu lại vỡ ra nhiều điều thú vị thì sao!

---

Nguồn tham khảo (có một vài là “chợ”, có một vài là học thuật, nhưng dù là nguồn nào thì mình cũng có phản biện rồi).

1. Phong cách từ hán việt và việc sử dụng chúng: https://vjol.info.vn/index.php/NNDS/article/download/20594/18041/

2. Vì sao nên dạy chữ Hán cho học sinh phổ thông? https://vnuhcm.edu.vn/su-kien_33353364/vi-sao-nen-day-chu-han-cho-hoc-sinh-pho-thong-/313138323364.html

3. Đại số là số lớn? - Tuổi Trẻ Online - Báo Tuổi Trẻ, https://tuoitre.vn/danh-tu-toan-hoc-han-viet-quen-ma-la-1361743.htm

4. Tản mạn về thuật ngữ toán học theo năm tháng, https://55namkhoatoandhsphue.wordpress.com/2012/02/27/thuật-ngữ-toan-học-theo-nam-thang-tản-mạn/

5. Từ Hán Việt trong thuật ngữ - Vusta, https://vusta.vn/tu-han-viet-trong-thuat-ngu-p78008.html

6. TÌNH HÌNH VÀ XU HƯỚNG NGHIÊN CỨU THUẬT NGỮ TẠI VIỆT NAM TỪ ĐẦU THẾ KỶ XX ĐẾN NAY - Tạp chí Khoa học Trường Đại học Mở Hà Nội https://jshou.edu.vn/houjs/article/download/145/137

7. Các thuật ngữ và định nghĩa toán học phổ biến nhất ai cũng phải biết - VnReview https://vnreview.vn/threads/cac-thuat-ngu-va-dinh-nghia-toan-hoc-pho-bien-nhat-ai-cung-phai-biet.44325/

8. Thuật ngữ « khoa học » vào tiếng Việt từ bao giờ ? - Viện Giáo Dục IRED https://www.ired.edu.vn/tu-lieu-giao-duc/ha-duong-tuong/thuat-ngu-khoa-hoc-vao-tieng-viet-tu-bao-gio

9. Từ điển Hán Nôm: Tra từ https://hvdic.thivien.net/

10. Chân Văn Đỗ Quý Toàn: Người Việt Dùng Chữ Hán - Sen Trắng, https://sentrangusa.com/2021/04/14/chan-van-do-quy-toan-nguoi-viet-dung-chu-han/

11. Các thuật ngữ trong toán học bằng tiếng Trung, https://trungtamtiengtrung.edu.vn/blog/cac-thuat-ngu-trong-toan-hoc-bang-tieng-trung-1282/

12. Một số thuật ngữ Toán học Hán Việt | Nguyễn Thái Sơn, https://osshcmup.wordpress.com/2011/09/25/một-số-thuật-ngữ-toan-học-han-việt/

13. KIẾN THỨC ĐỂ DẠY HỌC ĐẠO HÀM VÀ NĂNG LỰC NGHIỆP VỤ CỦA GIÁO VIÊN TOÁN TƯƠNG LAI - Đại học Huế, https://hueuni.edu.vn/portal/vi/data/bandtdhlocal/20210524_151148_NOIDUNGLA_LTBACHLIEN.pdf

14. Từ vựng tiếng Trung chủ đề: Các môn học, ngành học - Thanhmaihsk https://thanhmaihsk.edu.vn/tu-vung-tieng-trung-chu-de-cac-mon-hoc-nganh-hoc/

15. 11 – Method 3: Vi Phân Ngôn Ngữ - CHUNKS, https://the-chunks.com/vi-phan-ngon-ngu/

16. Đạo hàm là gì? - TOÁN HỌC TƯƠI ĐẸP, https://toanhoctuoidep.wordpress.com/2014/08/08/dao-ham-la-gi-3/

17. Lược sử hình thành khái niệm giới hạn trong Toán học - Math2IT, https://www.math2it.com/bai-viet/luoc-su-hinh-thanh-khai-niem-gioi-han-trong-toan-hoc/

18. ĐỀ TÀI NCKH VỀ HÁN VIỆT | PDF - Scribd, https://www.scribd.com/document/683889146/ĐỀ-TAI-NCKH-VỀ-HAN-VIỆT

19. MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM - Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, https://journal.hcmue.edu.vn/index.php/hcmuejos/article/viewFile/853/844